超難問　青森公立大学　2017年数学過去問　第4問

(1)

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一回の移動で辺GCを含む三角形ができるのは、△ABGだけであり、動点XはBと合致する。

XがAとBの間を往復して、AかBと合致するならば常に⊿ABGが形成される。

AからB、またBからAに移動する確率はどちらも${\displaystyle \frac{1}{3}}$だから、n回ABを移動する確率は${\displaystyle (\frac{1}{3}{)}^n}$　-①

 

また、一回の移動で動点XがGまたはCと合致すると、CGを一辺に持つ三角形は形成されず、そのときの面積は0。

動点XがAGC間をn回移動したときも三角形は形成されず面積0であり、

その時の確率は${\displaystyle (\frac{1}{3}{)}^n}$。-②

動点XがACG間をn回移動したときも三角形は形成されず面積0であり、

その時の確率は${\displaystyle (\frac{1}{3}{)}^n}$。-③

①②③は同時に起こらない排反事象であるから、和の法則により、

$P(n)={\displaystyle 3(\frac{1}{3}{)}^n}$

(2)

$AG=BG=CG={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{1}{cos30°}=1}$

だから、求める確率は、Gを通らずA、B、Cすべてをすくなくても1回訪問する確率である。

少なくても1回通る確率に真正面から挑むのは時間がかかりすぎて無謀である。

したがって、ここは、「A、B、Cすべてを少なくても1回訪問する」の否定を考えて、「Gを通らないすべての場合の確率から、Gを通らず且つA、B、Cのどれかを訪問しない場合を引くことを考える。

なぜならば、Gを通らない場合の数は、１．Gを通らずA、B、Cのすべてを少なくても1回訪問する場合の数、２．Gを通らず且つA、B、Cのどれかを訪問しない場合の数、で構成されているからである。

Gを通らない場合、A若しくはB若しくはCの位置にいる動点Xが次に動く先は、ABCの中の２点であるから、その場合の確率は${\displaystyle (\frac{2}{3}{)}^n}$　-①

AもGも通らないのは、A→B→C→B→Cと動くか、A→C→B→C→Bと動くかだから、その確率は和の法則から

${\displaystyle 2(\frac{1}{3}{)}^n}$　-②

BもGも通らないのは、A→C→A→C→Aの場合だから、確率は${\displaystyle (\frac{1}{3}{)}^n}$　-③

CもGも通らないのは、A→B→A→B→Aの場合だから、確率は${\displaystyle (\frac{1}{3}{)}^n}$　-④

①②③④から、

$Q(n)={\displaystyle (\frac{2}{3}{)}^n-4(\frac{1}{3}{)}^n}$

$={\displaystyle 2^n(\frac{1}{3}{)}^n–4(\frac{1}{3}{)}^n}$

$={\displaystyle (2^n-4)(\frac{1}{3}{)}^n}$

$Q(n)-P(n)={\displaystyle (2^n-4)(\frac{1}{3}{)}^n-3(\frac{1}{3}{)}^n}$
$={\displaystyle (\frac{1}{3}{)}^n(2^n-4-3)}$

$={\displaystyle (\frac{1}{3}{)}^n(2^n-7)}$

${\displaystyle (\frac{1}{3}{)}^n>0、n\geqq 3}$のとき$(2^n-7)\geqq 1$であるから、

$Q(n)-P(n)>0$であり、$Q(n)>P(n)$が成り立つ。