文字式の積の展開

$(1) (a+1)(a+2)(a+3)(a+4)$

組み合わせを意識して、(〇+△)(〇+◇)の形に持ち込む。

与式$= (a+1)(a+4)(a+2)(a+3)$

$=[(a^2+5a)+4][(a^2+5a)+6]$

$=(a^2+5a)^2+10(a^2+5a)+24$

$=a^4+10a^3+25a^2+10a^2+50a+24$

$=a^4+10a^3+35a^2+50a+24$

$(2)(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$

文字が複数の時は一つの文字について整理する（＝降べき順に並べる）

$与式=[x+(y+z)][x^2-(y+z)x+y^2-yz+z^2]$

$=x^3-(y+z)x^2+(y^2-yz+z^2)x+(y+z)x^2-(y+z)^2x+(y+z)(y^2-yz+z^2)$

$=x^3+(y^2-yz+z^2-y^2+2yz-z^2)x+y^3+z^3$

$=x^3+y^3+z^3-xyz$

これは展開後の式を因数分解させる問題として出題されることがあるから公式として暗記していたほうがいいです。

また、次も公式として把握しておいた方がいいです。

$x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=\dfrac{1}{2}\{ (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\}$