3月14日の宿題

問題

1　展開せよ。
$(1)(x+4{)}^3$
$(2)(x-3{)}^3$
$(3)(2a+b{)}^3$
$(4)(4x-5y{)}^3$

2　展開せよ。
$(1)(x+5)(x^2-5x+25)$
$(2)(3a-1)(9a^2+3a+1)$
$(3)(x+4y)(x^2-4xy+16y^2)$
$(4)(2a-5b)(4a^2+10ab+25b^2)$

3　因数分解せよ。
$(1)x^3+8$
$(2)x^3-27a^3$
$(3)125x^3+64y^3$
$(4)40a^3-135b^3$

4　因数分解せよ。
$(1)x^6-64$
$(2)a^6-26a^3-27$
$(3)(x+y{)}^3+z^3$

5　展開せよ
$(1)(2a+b{)}^2(4a^2-2ab+b^2{)}^2$
$(2)(x+3)(x-3)(x^4+9x^2+81)$
$(3)(x+y)(x-2y)(x^2-xy+y^2)(x^2+2xy+4y^2)$

6　因数分解せよ
$(1)x^3-6x^2+12x-8$
$(2)8x^3+6x^2+3x+1$
$(3)64a^3-240a^{2}b+300a{b}^2-125b^3$

答え

1　展開せよ。
$(1)(x+4{)}^3$
$={}_3{\mathrm{C}}_0{x}^3\cdot 4^0+{}_3{\mathrm{C}}_1{x}^2\cdot 4^1+{}_3{\mathrm{C}}_2{x}^1\cdot 4^2+{}_3{\mathrm{C}}_3{x}^0\cdot 4^3$
$=1\cdot x^3\cdot 1+{\displaystyle \frac{3}{1!}{x}^2\cdot 4+{\displaystyle \frac{3\cdot 2}{2!}x\cdot 16+{\displaystyle \frac{3\cdot 2\cdot 1}{3!}\cdot 1\cdot 64}}}$
$=x^3+12x^2+48x+64$

$(2)(x-3{)}^3$
$={}_3{\mathrm{C}}_0{x}^3\cdot (-3{)}^0+{}_3{\mathrm{C}}_1{x}^2\cdot (-3{)}^1+{}_3{\mathrm{C}}_2{x}^1\cdot (-3{)}^2+{}_3{\mathrm{C}}_3{x}^0\cdot (-3{)}^3$
$=1\cdot x^3\cdot 1+{\displaystyle \frac{3}{1!}{x}^2\cdot (-3)+{\displaystyle \frac{3\cdot 2}{2!}x\cdot 9+{\displaystyle \frac{3\cdot 2\cdot 1}{3!}\cdot 1\cdot (-27)}}}$
$=x^3-9x^2+27x-27$

$(3)(2a+b{)}^3$
$={}_3{\mathrm{C}}_0(2a{)}^3\cdot (b{)}^0+{}_3{\mathrm{C}}_1(2a{)}^2\cdot (b{)}^1+{}_3{\mathrm{C}}_2(2a{)}^1\cdot (b{)}^2+{}_3{\mathrm{C}}_3(2a{)}^0\cdot (b{)}^3$
$=1\cdot (2a{)}^3\cdot 1+{\displaystyle \frac{3}{1!}(2a{)}^2\cdot b+{\displaystyle \frac{3\cdot 2}{2!}2a\cdot b^2+{\displaystyle \frac{3\cdot 2\cdot 1}{3!}\cdot 1\cdot b^3}}}$
$=8a^3+12a^{2}b+6a{b}^2+b^3$

$(4)(4x-5y{)}^3$
$={}_3{\mathrm{C}}_0(4x{)}^3\cdot (-5y{)}^0+{}_3{\mathrm{C}}_1(4x{)}^2\cdot (-5y{)}^1+{}_3{\mathrm{C}}_2(4x{)}^1\cdot (-5y{)}^2+{}_3{\mathrm{C}}_3(4x{)}^0\cdot (-5y{)}^3$
$=1\cdot (4x{)}^3\cdot 1+{\displaystyle \frac{3}{1!}(4x{)}^2\cdot (-5y)+{\displaystyle \frac{3\cdot 2}{2!}4x\cdot 25y^2+{\displaystyle \frac{3\cdot 2\cdot 1}{3!}\cdot 1\cdot (-125)y^3}}}$
$=64x^3-240x^{2}y+300x{y}^2-125y^3$

2　展開せよ。
$(1)(x+5)(x^2-5x+25)$
$=x^3+5^3$
$=x^3+125$

$(2)(3a-1)(9a^2+3a+1)$
$=(3a{)}^3-1^3$
$=27a^3-1$

$(3)(x+4y)(x^2-4xy+16y^2)$
$=x^3+(4y{)}^3$
$=x^3+64y^3$

$(4)(2a-5b)(4a^2+10ab+25b^2)$
$=(2a{)}^3-(5b{)}^3$
$=8a^3-125b^3$

3　因数分解せよ。
$(1)x^3+8$
$=(x+2)(x^2-2x+4)$

$(2)x^3-27a^3$
$=(x-3a)(x^2+3ax+9a^2)$

$(3)125x^3+64y^3$
$=(5x+4y)(25x^2-20xy+16y^2)$

$(4)40a^3-135b^3$
$=5(8a^3-27b^3)$
$=5(2a-3b)(4a^2+6ab+9b^2)$

4　因数分解せよ。
$(1)x^6-64$
$=(x^2{)}^3-4^3$
$=(x^2-4)(x^4+4x^2+16)$
$=(x-2)(x+2)\{(x^2+4{)}^2-4x^2\}$
$=(x-2)(x+2)(x^2-2x+4)(x^2+2x+4)$

$(2)a^6-26a^3-27$
$=(a^3{)}^2-26a^3-27$
$=(a^3-27)(a^3+1)$
$=(a-3)(a+1)(a^2+3a+9)(a^2-a+1)$

$(3)(x+y{)}^3+z^3$
$=\{(x+y)+z\}\{(x+y{)}^2-(x+y)z+z^2\}$
$=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2+2xy-yz-zx)$

5　展開せよ
$(1)(2a+b{)}^2(4a^2-2ab+b^2{)}^2$
$=(8a^3+b^3{)}^2$
$=64a^6+16a^3{b}^3+b^6$

$(2)(x+3)(x-3)(x^4+9x^2+81)$
$=(x^2-9)(x^4+9x^2+81)$
$=x^6-729$

$(3)(x+y)(x-2y)(x^2-xy+y^2)(x^2+2xy+4y^2)$
$=(x+y)(x^2-xy+y^2)(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)$
$=(x^3+y^3)(x^3-8y^3)$
$=x^6-7x^3{y}^3-8y^6$

6　因数分解せよ
$(1)x^3-6x^2+12x-8$
$=(x^3-8)-(6x^2-12x)$
$=(x-2)(x^2+2x+4)-6x(x-2)$
$=(x-2)(x^2-4x+4)$
$=(x-2)(x-2{)}^2$
$=(x-2{)}^3$

$(2)8x^3+6x^2+3x+1$
$=(8x^3+1)+(6x^2+3x)$
$=(2x+1)(4x^2-2x+1)+3x(2x+1)$
$=(2x+1)(4x^2+x+1)$

$(3)64a^3-240a^{2}b+300a{b}^2-125b^3$
$=(4a-5b{)}^3$

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

問題

1　展開せよ。
$(1)(x+4{)}^3$
$(2)(x-3{)}^3$
$(3)(2a+b{)}^3$
$(4)(4x-5y{)}^3$

2　展開せよ。
$(1)(x+5)(x^2-5x+25)$
$(2)(3a-1)(9a^2+3a+1)$
$(3)(x+4y)(x^2-4xy+16y^2)$
$(4)(2a-5b)(4a^2+10ab+25b^2)$

3　因数分解せよ。
$(1)x^3+8$
$(2)x^3-27a^3$
$(3)125x^3+64y^3$
$(4)40a^3-135b^3$

4　因数分解せよ。
$(1)x^6-64$
$(2)a^6-26a^3-27$
$(3)(x+y{)}^3+z^3$

5　展開せよ
$(1)(2a+b{)}^2(4a^2-2ab+b^2{)}^2$
$(2)(x+3)(x-3)(x^4+9x^2+81)$
$(3)(x+y)(x-2y)(x^2-xy+y^2)(x^2+2xy+4y^2)$

6　因数分解せよ
$(1)x^3-6x^2+12x-8$
$(2)8x^3+6x^2+3x+1$
$(3)64a^3-240a^{2}b+300a{b}^2-125b^3$

答え

1　展開せよ。
$(1)(x+4{)}^3$
$={}_3{\mathrm{C}}_0{x}^3\cdot 4^0+{}_3{\mathrm{C}}_1{x}^2\cdot 4^1+{}_3{\mathrm{C}}_2{x}^1\cdot 4^2+{}_3{\mathrm{C}}_3{x}^0\cdot 4^3$
$=1\cdot x^3\cdot 1+{\displaystyle \frac{3}{1!}{x}^2\cdot 4+{\displaystyle \frac{3\cdot 2}{2!}x\cdot 16+{\displaystyle \frac{3\cdot 2\cdot 1}{3!}\cdot 1\cdot 64}}}$
$=x^3+12x^2+48x+64$

$(2)(x-3{)}^3$
$={}_3{\mathrm{C}}_0{x}^3\cdot (-3{)}^0+{}_3{\mathrm{C}}_1{x}^2\cdot (-3{)}^1+{}_3{\mathrm{C}}_2{x}^1\cdot (-3{)}^2+{}_3{\mathrm{C}}_3{x}^0\cdot (-3{)}^3$
$=1\cdot x^3\cdot 1+{\displaystyle \frac{3}{1!}{x}^2\cdot (-3)+{\displaystyle \frac{3\cdot 2}{2!}x\cdot 9+{\displaystyle \frac{3\cdot 2\cdot 1}{3!}\cdot 1\cdot (-27)}}}$
$=x^3-9x^2+27x-27$

$(3)(2a+b{)}^3$
$={}_3{\mathrm{C}}_0(2a{)}^3\cdot (b{)}^0+{}_3{\mathrm{C}}_1(2a{)}^2\cdot (b{)}^1+{}_3{\mathrm{C}}_2(2a{)}^1\cdot (b{)}^2+{}_3{\mathrm{C}}_3(2a{)}^0\cdot (b{)}^3$
$=1\cdot (2a{)}^3\cdot 1+{\displaystyle \frac{3}{1!}(2a{)}^2\cdot b+{\displaystyle \frac{3\cdot 2}{2!}2a\cdot b^2+{\displaystyle \frac{3\cdot 2\cdot 1}{3!}\cdot 1\cdot b^3}}}$
$=8a^3+12a^{2}b+6a{b}^2+b^3$

$(4)(4x-5y{)}^3$
$={}_3{\mathrm{C}}_0(4x{)}^3\cdot (-5y{)}^0+{}_3{\mathrm{C}}_1(4x{)}^2\cdot (-5y{)}^1+{}_3{\mathrm{C}}_2(4x{)}^1\cdot (-5y{)}^2+{}_3{\mathrm{C}}_3(4x{)}^0\cdot (-5y{)}^3$
$=1\cdot (4x{)}^3\cdot 1+{\displaystyle \frac{3}{1!}(4x{)}^2\cdot (-5y)+{\displaystyle \frac{3\cdot 2}{2!}4x\cdot 25y^2+{\displaystyle \frac{3\cdot 2\cdot 1}{3!}\cdot 1\cdot (-125)y^3}}}$
$=64x^3-240x^{2}y+300x{y}^2-125y^3$

2　展開せよ。
$(1)(x+5)(x^2-5x+25)$
$=x^3+5^3$
$=x^3+125$

$(2)(3a-1)(9a^2+3a+1)$
$=(3a{)}^3-1^3$
$=27a^3-1$

$(3)(x+4y)(x^2-4xy+16y^2)$
$=x^3+(4y{)}^3$
$=x^3+64y^3$

$(4)(2a-5b)(4a^2+10ab+25b^2)$
$=(2a{)}^3-(5b{)}^3$
$=8a^3-125b^3$

3　因数分解せよ。
$(1)x^3+8$
$=(x+2)(x^2-2x+4)$

$(2)x^3-27a^3$
$=(x-3a)(x^2+3ax+9a^2)$

$(3)125x^3+64y^3$
$=(5x+4y)(25x^2-20xy+16y^2)$

$(4)40a^3-135b^3$
$=5(8a^3-27b^3)$
$=5(2a-3b)(4a^2+6ab+9b^2)$

4　因数分解せよ。
$(1)x^6-64$
$=(x^2{)}^3-4^3$
$=(x^2-4)(x^4+4x^2+16)$
$=(x-2)(x+2)\{(x^2+4{)}^2-4x^2\}$
$=(x-2)(x+2)(x^2-2x+4)(x^2+2x+4)$

$(2)a^6-26a^3-27$
$=(a^3{)}^2-26a^3-27$
$=(a^3-27)(a^3+1)$
$=(a-3)(a+1)(a^2+3a+9)(a^2-a+1)$

$(3)(x+y{)}^3+z^3$
$=\{(x+y)+z\}\{(x+y{)}^2-(x+y)z+z^2\}$
$=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2+2xy-yz-zx)$

5　展開せよ
$(1)(2a+b{)}^2(4a^2-2ab+b^2{)}^2$
$=(8a^3+b^3{)}^2$
$=64a^6+16a^3{b}^3+b^6$

$(2)(x+3)(x-3)(x^4+9x^2+81)$
$=(x^2-9)(x^4+9x^2+81)$
$=x^6-729$

$(3)(x+y)(x-2y)(x^2-xy+y^2)(x^2+2xy+4y^2)$
$=(x+y)(x^2-xy+y^2)(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)$
$=(x^3+y^3)(x^3-8y^3)$
$=x^6-7x^3{y}^3-8y^6$

6　因数分解せよ
$(1)x^3-6x^2+12x-8$
$=(x^3-8)-(6x^2-12x)$
$=(x-2)(x^2+2x+4)-6x(x-2)$
$=(x-2)(x^2-4x+4)$
$=(x-2)(x-2{)}^2$
$=(x-2{)}^3$

$(2)8x^3+6x^2+3x+1$
$=(8x^3+1)+(6x^2+3x)$
$=(2x+1)(4x^2-2x+1)+3x(2x+1)$
$=(2x+1)(4x^2+x+1)$

$(3)64a^3-240a^{2}b+300a{b}^2-125b^3$
$=(4a-5b{)}^3$