2024/04/19
問題
7 展開式を求めよ
$(1) \quad (a+b)^6$
$(2) \quad (x-1)^7$
$(3) \quad (x-3y)^4$
$(4) \quad (2x+y)^5$
$(5) \quad (3x-27)^4$
8 展開式を求めよ
$(1) \quad (x+\displaystyle \frac{1}{x})^4$
$(2) \quad (x-\displaystyle \frac{1}{2x})5$
9 [ ]内に指定された係数を求めよ
$(1) \quad (x+3)^6 [x^4]$
$(2) \quad (3x-2)^5 [x^2]$
$(3) \quad (2x+y)^8 [x^6y^2]$
$(4) \quad (2x+3y)^5 [xy^4]$
10 $(1+x)^n$の展開式を利用して、次の等式を導け
$(1) \quad {}_n \mathrm{ C }_0+2{}_n \mathrm{ C }_1+2^2{}_n \mathrm{ C }_2+\cdots +2^n{}_n \mathrm{ C }_n=3^n$
$(2) \quad {}_n \mathrm{ C }_0-3{}_n \mathrm{ C }_1+9{}_n \mathrm{ C }_2-\cdots +(-3)^n{}_n \mathrm{ C }_n=(-2)^n$
11 $(3x-2y)^6$の展開式におけるx^3y^3の項の係数を求めよ。
答え
7 展開式を求めよ
$(1) \quad (a+b)^6$
$={}_6 \mathrm{ C }_0\cdot a^6\cdot b^0+{}_6 \mathrm{ C }_1\cdot a^5\cdot b^1+{}_6 \mathrm{ C }_2\cdot a^4\cdot b^2+{}_6 \mathrm{ C }_3\cdot a^3\cdot b^3$
$+{}_6 \mathrm{ C }_4\cdot a^2\cdot b^4+{}_6 \mathrm{ C }_5\cdot a^1\cdot b^5+{}_6 \mathrm{ C }_6\cdot a^0\cdot b^6$
$=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6$
$(2) \quad (x-1)^7$
$={}_7 \mathrm{ C }_0\cdot x^7\cdot (-1)^0+{}_7 \mathrm{ C }_1\cdot x^6\cdot (-1)^1+{}_7 \mathrm{ C }_2\cdot x^5\cdot (-1)^2+{}_7 \mathrm{ C }_3\cdot x^4\cdot (-1)^3$
$+{}_7 \mathrm{ C }_4\cdot x^3\cdot (-1)^4+{}_7 \mathrm{ C }_5\cdot x^2\cdot (-1)^5+{}_7 \mathrm{ C }_6\cdot x^1\cdot (-1)^6+{}_7 \mathrm{ C }_7\cdot x^0\cdot (-1)^7$
$x^7-7x^6+21x^5-35x^4+35x^3-21x^2+7x-1$
$(3) \quad (x-3y)^4$
$={}_4 \mathrm{ C }_0\cdot x^4\cdot (-3)^0+{}_4 \mathrm{ C }_1\cdot x^3\cdot (-3)^1+{}_4 \mathrm{ C }_2\cdot x^2\cdot (-3)^2+{}_4 \mathrm{ C }_3\cdot x^1\cdot (-3)^3$
$+{}_4 \mathrm{ C }_4\cdot x^0\cdot (-3)^4$
$x^4-12x^3+54x^2y^2-108xy^3+81y^4$
$(4) \quad (2x+y)^5$
$={}_5 \mathrm{ C }_0\cdot (2x)^5\cdot y^0+{}_5 \mathrm{ C }_1\cdot (2x)^4\cdot y^1+{}_5 \mathrm{ C }_2\cdot (2x)^3\cdot y^2+{}_5 \mathrm{ C }_3\cdot (2x)^2\cdot y^3$
$+{}_5 \mathrm{ C }_4\cdot (2x)^1\cdot y^4+{}_5 \mathrm{ C }_5\cdot (2x)^0\cdot y^5$
$32x^5+80x^4y+80x^3y^2+40x^2y^3+10xy^4+y^5$
$(5) \quad (3x-2y)^4$
$={}_4 \mathrm{ C }_0\cdot (3x)^4\cdot (-2y)^0+{}_4 \mathrm{ C }_1\cdot (3x)^3\cdot (-2y)^1+{}_4 \mathrm{ C }_2\cdot (3x)^2\cdot (-2y)^2$
$+{}_4 \mathrm{ C }_3\cdot (3x)^1\cdot (-2y)^3+{}_4 \mathrm{ C }_4\cdot (3x)^0\cdot (-2y)^4$
$81x^4-216x^3y+216x^2y^2-96xy^3+16y^4$
8 展開式を求めよ
$(1) \quad (x+\displaystyle \frac{1}{x})^4$
$=x^4+4\cdot x^3\cdot \displaystyle \frac{1}{x}+6\cdot x^2\cdot \displaystyle \frac{1}{x^2}+4\cdot x\cdot \displaystyle \frac{1}{x^3}+\displaystyle \frac{1}{x^4}$
$=x^4+4x^2+6+\displaystyle \frac{4}{x^2}+\displaystyle \frac{1}{x^4}$
$(2) \quad (x-\displaystyle \frac{1}{2x})5$
$=x^5-5x^4\cdot \displaystyle \frac{1}{2x}+10x^3\cdot \displaystyle \frac{1}{4x^2}-10x^2\cdot \displaystyle \frac{1}{8x^3}+5x\cdot \displaystyle \frac{1}{16x^4}- \frac{1}{32x^5}$
$=x^5-\displaystyle\frac{5x^3}{2}+\displaystyle\frac{5x}{2}-\displaystyle\frac{5}{4x}+\displaystyle\frac{5}{16x^3}-\displaystyle\frac{1}{32x^5}$
9 [ ]内に指定された係数を求めよ
$(1) \quad (x+3)^6 [x^4]$
$={}_6 \mathrm{ C }_2\cdot 3^2$
$=15\cdot 9$
$=135$
$(2) \quad (3x-2)^5 [x^2]$
$={}_5 \mathrm{ C }_3\cdot 3^2\cdot (-2)^3$
$=10\cdot 9\cdot (-8)$
$=-720$
$(3) \quad (2x+y)^8 [x^6y^2]$
$={}_8 \mathrm{ C }_2\cdot 2^6$
$=28\cdot 64$
$=1792$
$(4) \quad (2x+3y)^5 [xy^4]$
$={}_5 \mathrm{ C }_4\cdot 2\cdot 3^4$
$=5\cdot 2\cdot 81 $
$=810$
10 $(1+x)^n$の展開式を利用して、次の等式を導け
$(1) \quad {}_n \mathrm{ C }_0+2{}_n \mathrm{ C }_1+2^2{}_n \mathrm{ C }_2+\cdots +2^n{}_n \mathrm{ C }_n=3^n$
$(1+x)^n={}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1x+{}_n \mathrm{ C }_2x^2\cdots +{}_n \mathrm{ C }_nx^n$であるから、
この式に$x=2$を代入すると、
$(1+2)^n={}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1\cdot 2+{}_n \mathrm{ C }_2\cdot2^2\cdots +{}_n \mathrm{ C }_n\cdot2^n$
即ち、$ \quad {}_n \mathrm{ C }_0+2{}_n \mathrm{ C }_1+2^2{}_n \mathrm{ C }_2\cdots +2^n{}_n \mathrm{ C }_n=3^n$
$(2) \quad {}_n \mathrm{ C }_0-3{}_n \mathrm{ C }_1+9{}_n \mathrm{ C }_2-\cdots +(-3)^n{}_n \mathrm{ C }_n=(-2)^n$
(1)の式に$x=-3$を代入すると、
$(1-3)^n={}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1\cdot (-3)+{}_n \mathrm{ C }_2\cdot(-3)^2\cdots +{}_n \mathrm{ C }_n\cdot(-3)^n$
即ち、${}_n \mathrm{ C }_0-3{}_n \mathrm{ C }_1+9{}_n \mathrm{ C }_2\cdots +(-3)^n{}_n \mathrm{ C }_n=(-2)^n$
11 $(3x-2y)^6$の展開式におけるx^3y^3の項の係数を求めよ。
${}_6 \mathrm{ C }_3\cdot 3^3\cdot (-2)^3$
$=20\cdot 27\cdot (-8)$
$=-4320$